Studiebot antwoord

Vraag gesteld door: JulyavdW - 1 maand geleden

Maak een oefenexamen van de volgende tekst: 1 Ontluikende gecijferdheid
1.1 Schets van de leerlijn tellen en getalbegrip
Zie pagina 36.
In de schets ga je van contextgebonden (voorschools, groep 1 en 2) handelen en redeneren naar objectgebonden (groep 1-3) handelen en redeneren naar formeel (groep 2/3 en verder) handelen en redeneren.
Contextgebonden handelen en redeneren
Onder het contextgebonden handelen en redenen valt het volgende:
- Betekenissen en functies van getallen
- Rekenvoorwaarden
- Contextgebonden tellen
Objectgebonden handelen en redenren
Onder objectgebonden tellen valt:
- Objectgebonden tellen
- Ordenen, structureren en vergelijken van aantallen en hoeveelheden
Formeel handelen en redeneren
Onder formeel handelen en redeneren vallen:
- Formeel tellen
- Ordenen, structureren en vergelijken van getallen en hoeveelheden.
1.2 Elementair getalbegrip
Kinderen hebben een onderzoekende houding.
Door hun nieuwsgierigheid krijgen ze interesse in getallen.
Bij de ontwikkeling van het elementair getalbegrip speelt leren tellen een rol: het verkennen van verschillende betekenissen en functies van getallen.
Telrij: gebruiken ze bij verstoppertje of in een liedje.
Boekjes, rijmpjes en versjes waar er steeds een bijkomt of afgaat.
Dit zijn voor kinderen betekenisvolle situaties. Hiermee zijn ze bezig met het verkennen van getallen en getalrelaties. De kinderen krijgen steeds meer grip op omgaan met de telrij, hoeveelheden en getallen.
De orintatie op de wereld omvat veel wiskundige elementen: getallen, meten, ruimte, tijd.
Bij de wiskundige wereldorintatie gaat het om het leren van reken-wiskundige begrippen en het vergroten van handelsmogelijkheden van kinderen.
Wiskundige orintatie vindt plaats in voor kinderen betekenisvolle situaties. De basisschool is een rijke leeromgeving die leerlingen uitnodigt om op onderzoek uit te gaan.
De leerkracht zorgt ervoor dat hij aansluit bij de zone van de naaste ontwikkeling: wat kan het kind net niet zonder begeleiding, maar wel met begeleiding.
1.2.1 Leren tellen
Veel tellen grip op de telrij.
Omgaan met hoeveelheden
Kinderen krijgen bijvoorbeeld vat op hoeveelheden doordat ze kijken of iedereen evenveel snoepjes krijgen.
Hoeveelheden zijn op het oog met elkaar te vergelijken als de hoeveelheden niet zo groot zijn. Of door objecten in eenzelfde structuur te leggen en deze te vergelijken.
Je kunt ook tellen om te vergelijken.
Bij hoeveelheden die nog te groot zijn om te tellen kun je n-op-n-relaties leggen.
Of even grote groepjes maken en die tellen.
En-op-n-relaties leggen is wiskundig gezien een inzicht dat vooraf gaat aan tellen.
Kleine hoeveelheden herkennen
Rond de 2 jaar worden kinderen zich bewust van kleine hoeveelheden en het telwoord dat erbij hoort.
Kleuters herkennen kleine hoeveelheden dan direct. Er is dan sprake van subiteren. Dit betekent: direct of onmiddellijk zien. Hoeveelheden tot 3 worden snel herkend. Vanaf 5 wordt het moeilijker. Dan helpt een gestructureerde vorm.
Akoestisch tellen
Telrij hardop zeggen.
Getallen hebben dan nog geen betekenis.
Asynchroon tellen
Kinderen tellen een hoeveelheid n voor n, maar aanwijzen en hardop tellen gaan nog niet gelijk op. De telrij is in goede volgorde, maar slaat voorwerpen over of telt dubbel. Essentieel is het nummeren: het inzicht dat aan objecten een nummer kan worden toegekend. Kinderen die synchroon tellen zijn meestal niet verbaasd dat de uitkomst na een tweede keer tellen anders is.
Synchroon tellen
Een manier om synchroon te leren tellen is om bij het tellen van een rij de objecten een voor een weg te laten schuiven. De n-op-n-relatie tussen het telwoord en het object wordt dan eerder gelegd. Ook bordspelletjes dragen bij door het verplaatsen van de pion.
Resultatief tellen
Kinderen kunnen een hoeveelheid tellen en al aanwijzend de juiste telwoorden gebruiken. Kinderen kunnen vervolgens de uitkomst aangeven.
Resultatief tellen beperkt zich niet tot geordende hoeveelheden. Juist door het tellen van ongeordende en deels onzichtbare hoeveelheden wordt de vaardigheid van het resultatief tellen gestimuleerd en uitgebreid.
Bij resultatief tellen maakt het kind een koppeling tussen het telgetal (ordinaal) en het hoeveelheidsgetal (kardinaal).
Verkort tellen en terugtellen
Kinderen ontdekken dat het niet altijd nodig is om n-voor-n te tellen. Kinderen leren de telhandeling te structureren en verkorte telstrategien te hanteren.
Ook terugtellen is geavanceerd.
Een vorm van verkort tellen is doortellen als je een hoeveelheid of getalbeeld al kent.
Dit kan gestimuleerd worden met deels onzichtbare hoeveelheden.
Verkort tellen kan ook met sprongen. Bijvoorbeeld in sprongen van twee, vijf of tien.
De ontwikkeling van kleuters voorloopt niet altijd volgens de beschreven stappen.
Abstractieniveaus
Contextgebonden tellen is betekenisvol tellen: je vraagt hoe oud de jarige is geworden en het kind telt de kaarsjes op de taart.
Voorbeelden van betekenisvol tellen:
- Hoeveel stappen mag je doen met een pion.
- Hoeveel punten heb je al? Wie gaat er winnen?
- Zijn alle kinderen er al?
- Hoeveel ballen hebben we nodig om in tweetallen te kunnen overgooien.
Objectgebonden tellen is het tellen van dingen zonder specifieke betekenis
Formeel tellen is de meest abstracte vorm. Het kind kan los van context of objecten flexibel tellen: resultatief, verkort en op een gegeven moment ook terug.
1.2.2 Rekenvoorwaarden
Onder rekenvoorwarden vallen alle aspecten van de ontluikende gecijferdheid. Resultatief en verkort tellen zijn belangrijke rekenvoorwaarden voor het rekenen in groep 3. Daarnaast zijn er ook reken-taalbegrippen van belang: voor, naast, achter, links, rechts, hoog, hoger, hoogst, klein, groot, enzovoort. Kennis van aantallen, betekenissen van getallen en cijfersymbolen horen ook bij de rekenvoorwaarden, evenals meten en maatbegrip.
De ontwikkelingspsycholoog Piaget koppelde getalbegrip aan het vermogen tot logisch denken en de denkontwikkeling van het kind. Tot ongeveer het zevende levensjaar verwerft het kind rekenvoorwaarden en getalbegrip.
Piaget onderscheidt vier belangrijke rekenvoorwaarden:
1. Begrip van conservatie: begrijpen dat een hoeveelheid hetzelfde blijft, ook als de vorm van de hoeveelheid verandert. Het aantal blokjes wordt niet groter als je de blokjes verder uit elkaar legt.
2. Correspondentie: het kunnen leggen van n-op-n-relaties. Dit is belangrijk bij synchroon tellen.
Bijvoorbeeld: is er voor iedere knoop een knoopsgat?
3. Classificatie: het maken van groepen op basis van een of meer gemeenschappelijke kenmerken.
4. Seriatie: het aanbrengen van een volgorde.
Vroeger werden de rekenvoorwaarden soms louter op abstract niveau getraind door de leerlingen opdrachten te laten maken. Maar Piaget bedoelde ze niet als te trainen vaardigheden, maar om de ontwikkeling van kinderen te duiden. Bovendien is het abstractieniveau sterk bepalend voor de moeilijkheidsgraad.
1.2.3 Betekenissen van getallen
Door bezig te zijn met activiteiten, spelletjes en prentenboeken onderscheiden kinderen steeds duidelijker verschillende betekenissen van getallen.
1.2.4 Symboliseren
Kinderen gebruiken al snel hun vingers om hoeveelheden te symboliseren. Ook voor meetgetallen gebruiken ze hun vingers: ik ben drie jaar.
Later wordt drie ook gekoppeld aan een cijfersymbool.
Een ander cijfersymbool is drie stippen op een dobbelsteen.
Een kind kan dit gaan koppelen aan het maken van drie sprongen op het speelbord.
Vervolgens leert het kind het herkennen van getalbeelden. Het leert kleine aantallen in n keer te overzien.
Als kinderen de getalsymbolen kennen, kunnen ze getallen met elkaar gaan vergelijken op basis van hun plaats in de getallenrij. Hiermee is de relatie tussen aantallen, symbolen, telnamen en plaats in de telrij gelegd en zijn de kinderen klaar voor het aanvankelijk rekenen in groep 3.
2 Aanvankelijk rekenen
2.1 Schets van de leerlijn aanvankelijk rekenen
Zie pagina 56.
Contextgebonden handelen en redeneren (groep 3 en 4)
- Getalbegrip: tellen, getalstructuren, splitsen
- Betekenissen van bewerkingen optellen en aftrekken
Objectgebonden handelen en redeneren (groep 3 en 4)
- Structurerend redeneren en rekenen (optellen en aftrekken)
Formeel handelen en redeneren (groep 3 en 4)
- Formeel redeneren en rekenen: optellen en aftrekken
2.2 Verder werken aan getalbegrip
Er blijft aandacht voor betekenissen, structuren en eigenschappen van getallen. Dit maakt dat het getalbegrip zich blijft ontwikkelen. Getalbegrip is de basis voor gecijferdheid. Bij basale gecijferdheid in de onderbouw gaat het om verschillende betekenissen van getallen en betekenissen van en inzicht in de basisbewerkingen. Bij aanvankelijk rekenen gaat het eerst om optellen en aftrekken.
In groep 3 worden eerst de getallen tot en met 20 verkend en daarna die tot en met 100. Met aanvankelijk rekenen wordt meestal het redeneren en rekenen met getallen tot en met 20 bedoeld. Het omvat ook formeel tellen met grotere getallen. Aan het begin van groep 3 moeten alle leerlingen resultatief en formeel kunnen tellen tot ten minste 20. In groep 3 wordt dit al snel uitgebreid naar het getalgebied tot en met 100. Er wordt verder geteld vanaf een willekeurig getal en er wordt met sprongen geteld. Vanaf een willekeurig getal tellen met sprongen wordt ook geoefend. Door te tellen met sprongen van 10 krijgen kinderen steeds meer grip op de structuur van de telrij en van getallen boven 10, inclusief notatie en uitspraak.
Ook wordt terugtellen vanaf een willekeurig getal geoefend.
Met het oefenen van deze telvarianten worden tevens ankergetallen of steunpunten als 5, 10, 20 en 50 verkend. Deze telvormen en de ankergetallen worden later benut bij het formele rekenen.
Naast teloefeningen zijn het ordenen en positioneren van getallen belangrijke oefeningen. Daarbij leren kinderen de volgorde en plaats van getallen.
De onderlinge afstanden tussen de getallen spelen bij ordenen nog geen rol.
Bij positioneren speelt de afstand wel een rol. Kinderen plaatsen getallen (globaal) op een getallenlijn.
Kinderen kunnen lokaliseren door gebruik te maken van de structuur van de telrij en ankerpunten.
Structuren van getallen: kinderen maken bij getallen tot en met 20 vooral gebruik van de vijfstructuur, tienstructuur en dubbelstructuur.
Bij grotere getallen gaat het vooral om de tienstructuur. De vijfstructuur komt nog voor bij het turven van grote getallen en de dubbelstructuur komt nog voor bij dubbelingen (het dubbele van 30 is 60).
Bij grotere getallen gaat het ook om de decimale structuur. Kinderen zien al snel de analogie tussen de telrij tot 10 en de rij tientallen.
De decimale structuur omvat ook de interne structuur van getallen in tientallen en eenheden (48 is vier sprongen van 10 en 8 van 1).
Andere interne structuren zijn: 50 is vijf groepjes van 10 en 100 bestaat uit 25 en 25 en 25 en 25.
Een externe structuur is bijvoorbeeld 48 is 50 eraf 2.
Getallenlijn
De getallenlijn wordt bij het aanvankelijk rekenen vooral gebruikt voor oefening met tellen ordenen en positioneren. De getallenlijn wordt ook gebruikt ter ondersteuning van het uitvoeren van bewerkingen. De kralenketting kan worden gebruikt als voorloper op het werken met de lege getallenlijn. De kralenketting is concreet materiaal: je kunt n voor n schuiven of in sprongen.
Aan de kralenketting kun je zowel het kardinale als het ordinale karakter van getallen zien.
De getallenlijn begint aan het begin van groep 3 bij de 1. Vaak wordt dan nog een hokjesgetallenlijn gebruikt.
Een andere voorloper van de getallenlijn is het meetlint. Op een meetlint van 1 meter staan alle getallen tot 100. Het meetlint kan gebruikt worden bij het positioneren van en lokaliseren van getallen en bij allerlei teloefeningen.
Positioneren van getallen op de getallenlijn kan op verschillende manieren plaatsvinden. Bijvoorbeeld door getallen op de kralenketting aan te wijzen (eigenlijk een hoeveelheid kralen), maar ook door kaartjes aan een getallenlijn te hangen, waaraan oorspronkelijk alleen de 0, 50 en 100 hingen, of alleen tienvouden.
Er kan ook letterlijk gesprongen worden van 0 naar 100 of iets ertussenin. Dit kun je kinderen laten doen door te zeggen dat grote sprongen 10 zijn en kleine sprongen 1. Terugspringen kan ook.
Verkennen van de getallenwereld
Getal van de week
Kinderen krijgen hierdoor meer grip op betekenissen, structuren en getalbeelden.
Kinderen mogen tijdens de week allerlei verschijningsvormen en structuren van het getal bedenken, opzoeken, uitknippen, tekenen enzovoort.
Honderdrol
Schrijf de getallen 1 tot en met 100 op een lange strook, zodat je verschillende structuren kunt herkennen. Bedenk aan welke structuren je aandacht wilt schenken.
Op je nummer zetten
Een kind krijgt een nummer op zijn rug. De andere kinderen zetten hem op een getallenlijn. Het kind raadt vervolgens welk getal hij is. Het kind mag vragen stellen: ben ik ?
Met sprongen vooruit
2.3 Optellen en aftrekken tot en met 10
00:00:02 Spreker 1
Bij het rekenen tot 10 gaat het om splitsen, optellen en aftrekken.Uiteindelijk is het de bedoeling dat de kinderen de uitkomsten van alle opgaven en splitsingen tot en met 10 als rekentijd beraad hebben, zodat ze deze kunnen toepassen. Een nieuwe situaties, een opgaven met grotere getallen.
2.3.1 Splitsen van getallen tot 10
Kinderen leren dat je getallen en aantallen kunt splitsen en samenstellen.
Samenstellen is de inverse bewerking van splitsen.
Bij het leren splitsen worden allerlei contexten en materialen gebruikt. Na enige oefening is daarbij een deel van de hoeveelheid niet meer zichtbaar, zodat leerlingen loskomen van het n voor n tellen. Al snel vindt splitsen ook op formeel niveau plaats.
Kinderen leren dat je getallen en aantallen kunt splitsen en samenstellen. Samenstellen is de inverse bewerking van splitsen. Bij het leren splitsen worden allerlei contexten en materialen gebruikt. Na enige oefening is daarbij een deel van de hoeveelheid niet meer zichtbaar, zodat leerlingen loskomen van het n voor n tellen. Al snel vindt splitsen ook op formeel niveau plaats.
Naarmate leerlingen het splitsen beter beheersen, leren ze ook de relatie met optellen en aftrekken te doorzien. Bijvoorbeeld dat 5 en 3 1 splitsing is van 8. Om dat 5 erbij 3 staan in 8 is of Omdat achteraf 3 5 is. Het paraat hebben van de splitsingen tot 10 is nodig voor het rekenen over de 10 en met grotere getallen. Zo kun je aspiraat hebt tot 7 bestaat uit twee en 5. Deze kennis gebruiken om de opgave 8 plus 70 uit te rekenen via aanvullen tot 10. Eerst doe je 8 plus 2 is 10 en dan moet er nog 5 bij.
2.3.2 Optellen en aftrekken tot 10
De ontwikkeling van het optellen en aftrekken tot 10 verloopt globaal tot als volgt: tellend rekenen, gevolgd door rekenen met verder tellen en gebruik van getalstructuren, resulterend in optellen.
In het reken wiskundeonderwijs worden bestaande vaardigheden van leerlingen benut om niveauverhoging te bereiken. Het benutten van tellen om te komen tot verkort tellen en optellen is hiervan een voorbeeld. Hierbij gaat het om een niveau verhoging van tellend rekenen, doorgaans via structurerend rekenen naar formeel rekenen. Om verkorting te stimuleren wordt gebruik gemaakt van structuren en getalbeelden, bijvoorbeeld de vijfbeelden van getallen tot en met 10. Deze sluiten mooi aan bij de vijfstructuur van de handen. Hiermee leren kinderen ook de eerste weetjes. Zo zijn in het vijfbeeld van 8 al verschillende getalbeelden en optelopgaven en aftrekopgaven te herkennen.
Met het woord weetjes worden gekende rekenfeiten bedoeld. Deze worden zo genoemd omdat kinderen ze paraat moeten hebben. Ze zijn ook belang van belang voor het rekenen met grotere getallen. Bij het leren rekenen tot 10 zijn twee modellen die aansluiten bij de informele tel- en rekenenstrategie van kinderen belangrijk: het groepjesmodel en het lijnmodel. Het groepjesmodel verwijst naar het groeperen: vijven en dubbelen. Dit komt voort uit het verkort tellen. Voorbeelden van een groepjes model zijn vingerbeelden en het turven.
Het lijnmodel blikt vooruit naar het rijgend optellen. Materialen waarin het lijm model is terug te zien zijn bijvoorbeeld de kralenketting, de liniaal en de getallenlijn. In het rekenrek is zowel het lijnmodel als het groepjesmodel te herkennen. Al vrij snel leren kinderen eenvoudige opgaven op formeel niveau op te lossen. Daar hoort bij dat de termen erbij en het af die dicht bij de betekenis van optellen en aftrekken aanliggen worden vervangen door het meer formele plus en min. In het proces van formalisering maken kinderen gebruiken alle zaken die hierboven zijn beschreven: betekenissen, structuren, getalbeelden, enzovoort. Ook is er aandacht voor horizontaal mathematiseren, waarbij het onder meer gaat om het vertalen van de situatie en bewerking en andersom. Dit is voor kinderen niet altijd eenvoudig.
2.4 Betekenissen van optellen en aftrekken
In groep 3 wordt er aandacht besteed aan de verschillende contexten van optellen en aftrekken. De betekenissen worden in allerlei contexten benut.
Algemeen gesteld gaat het bij optellen en aftrekken om de relatie tussen een deel, een deel en een totaal.
Optellen en aftrekken hebben een inverse relatie.
Voor het optellen en aftrekken van bijvoorbeeld de som 12 - 9 zijn verschillende oplossingsprocedures:
- Tellend: bijtellen. 9 + 3: Je gaat vanaf 9 3 stapjes verder tellen.
Verkort hiervan is direct optellen.
- Tellend: wegtellen. 12-9: Je gaat 9 stapjes terug vanaf 12. Je komt dan uit bij 3.
Verkort: direct aftrekken.
- Tellend: terugtellen. 12-9: Je zet 3 stapjes terug naar 9.
Verkort: indirect aftrekken.
- Tellen: doortellen. 12 9: Je neemt stapjes van 9 tot je bij 12 komt.
Verkort: indirect optellen of aanvullend optellen.
De buscontext
Bij de kleuters wordt al busje gespeeld. Ze tellen dan steeds hoeveel passagiers uitstappen en instappen. Er blijft dan een bepaald aantal kinderen over in de bus.
Later wordt dit gedaan met getekende bussen of kunnen kinderen zelf het aantal passagiers inkleuren.
Bij het gebruiken van de buscontext moet op enkele punten goed worden gelet. Kinderen moeten weten hoe reizen met de bus werkt. Eventueel moet busje ook nog nagespeeld worden in groep 3. Dit is ook leuk voor de kinderen.
2.5 Optellen en aftrekken over de 10
2.5.1 Structuren en getalbeelden
Als kinderen getallen op de juiste manier kunnen structureren is de overstap naar grotere bewerkingen niet erg groot meer.
Drie structuurmodellen die voor het rekenen tot en met 20 gebruikt worden, zijn het groepjesmodel, het lijnmodel en het combinatiemodel.
De kralenketting is een voorbeeld van het lijnmodel. Het bevat ook een vijfstructuur en een tienstructuur (5 rode kralen en daarnaast 5 witte). In de kralenketting tot en met 100 zit enkel nog de tienstructuur.
In het combinatiemodel worden hoeveelheden zowel naast elkaar als onder elkaar afgebeeld. Hierdoor zie je zowel het lijn- als het groepjesmodel. Dit is bijvoorbeeld het rekenrek.
Je kunt hiermee in vijf-, tien- of dubbelstructuur kralen neerzetten en dit aflezen om een som uit te rekenen.
Het rekenen kan door kinderen in uiteenlopende ontwikkelingsniveaus gebruikt worden: van tellend tot verkort rekenen en van handelend tot alleen kijken.
Zo zien kinderen ook andere kinderen die al wat verder zijn andere oplossingsstrategien gebruiken.
2.5.2 Formeel rekenen
Materialen en modellen worden losgelaten. Ingeslepen getalbeelden, structuren en getalrelaties gaan fungeren als steunpunten.
Het afleiden van het antwoord op de ene opgave uit een andere opgave valt vaak toe te passen. Er bestaan verschillende varianten:
- Verwisselen (2+3 is 3+2)
- De inverse bepalen (6-2 = 4+2)
- Een buurtsom (3+3 en 3+4)
Andere getalrelaties en steunpunten die van pas komen bij rekenen tot 20 zijn:
- Opgaven met 0. 0 erbij of eraf maakt niks uit. Nu weet het kind elke som met 0 erbij of 0 eraf.
- Erbij 1. Is makkelijk als je de getallenrij kent.
- Eraf 1. Je moet kunnen terugtellen.
- Tiensommen. (10+3 = 13)
- Verdwijnsommen (4-4 = 0)
- Bijna verdwijnsommen (4-3=1)
- Halven kunnen worden afgeleid van dubbelen. (6-3=3)
Deze kennis komt samen met het gebruik van contexten, betekenissen en structuren en modellen van pas bij het automatiseren en memoriseren. Hiervoor bestaan verschillende oefenvormen, zoals speels en productief oefenen.
Speels oefenen
Er zit bijvoorbeeld een wedstrijdelement in. Bijvoorbeeld: binnen 5 minuten zoveel mogelijk sommetjes beantwoorden. Het moet dan niet gaan om een onderlinge competitie. Veel kinderen worden daar onzeker van.
Productief oefenen
Eigen inbreng van kinderen in opgaven wordt ook productief oefenen genoemd. Dit is oefenen op een open, niet voorgestructureerde manier. Bijvoorbeeld door kinderen te vragen opgaven te verzinnen waar steeds hetzelfde getal uitkomt.
Kinderen oefenen bij zon oefenvorm op hun eigen niveau. De leraar krijgt dan ook zicht op wat de leerlingen al kunnen.
3 Basisbewerkingen
De basisoperaties of de hoofdbewerkingen zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Tot groep 5 is rekenen nog hoofdrekenen in de zin van rekenen met het hoofd. De denkstappen gebeuren in het hoofd, maar de kinderen mogen papier gebruiken om tussenstappen te noteren.
Hoofdrekenen kan daarom ook halfschriftelijk rekenen genoemd worden.
Rekenen uit het hoofd is helemaal zonder papier. Dit komt pas later aan bod, net als schriftelijk rekenen.
3.1 Schets van de leerlijn basisbewerkingen
- Context gebonden handelen en redeneren (vanaf groep 3/4)
o Betekenis van bewerkingen
- Modelondersteunend handelen en redeneren (vanaf groep 3/4)
o Basisstrategien
o Varia-aanpakken
- Formeel handelen en redeneren (vanaf groep 3/4)
o Oefenen en gebruiken van procedures en strategien
o Automatiseren en memoriseren
3.2 Optellen en aftrekken
De rekenkennis en weetjes die kinderen opdoen in het rekengebied tot en met 20 vormen de basis voor goed hoofdrekenend optellen en aftrekken.
Doordat automatiseren van opgaven tot en met 20 een langlopend proces is, kan er bij het optellen en aftrekken met grote getallen niet meteen van uit worden gegaan dat kinderen die kennis al paraat hebben. Gebruik maken van contexten, modellen en materialen blijft daarom belangrijk.
4.1.2 Basisstrategien
Aan het oplossen van rekenopgaven zijn twee aspecten te onderscheiden: de oplossingsprocedure en de oplossingsstrategie.
Voorbeelden van de oplossingsprocedure: direct optellen, indirect aftrekken en aanvullend optellen.
Ook van strategien zijn verschillende varianten. Strategien voor hoofdrekenend optellen en aftrekken:
- De rijgstrategie
- De splitsstrategie
- Varia-aanpakken.
De rijgstrategie
Rijgen is een strategie waarbij je het eerste getal heel laat en het tweede getal er in stukjes bijdoet of afhaalt. Het tweede getal wordt gesplitst in eenheden en tientallen.
De strategie is te ondersteunen met een lijnmodel.
Het kan ook handelend plaatsvinden op de kralenketting. De kralenketting is een concreet materiaal, maar heeft vooral een modelfunctie.
Bij de rijgstrategie zijn de tiensprong (een willekeurig getal + 10) en de sprong via het tiental belangrijk.
Door het rijgen op een lege getallenlijn uit te voeren tekenen de kinderen hun tussenstappen en tussenantwoorden (het werkgeheugen wordt ontlast).
Daarnaast kunnen kinderen van uiteenlopende vaardigheidsniveaus dit toepassen. De ene doet het nog uitgebreid (47 +35 de een maakt vanaf de 47 eerst 3 sprongen van 10 en daarna een sprong van 3 en dan een sprong van 2. De ander maakt vanaf 47 direct een sprong van 30 en vervolgens een sprong van 5 (verkort)).
De splitsstrategie
Bij splitsen worden beide getallen gesplitst in eenheden en tientallen.
Splitsen is te ondersteunen met groepsmodellen, zoals geld en MAB-materiaal. De splitsstrategie is van belang voor het hoofdrekenen, maar vooral voorbereidend op kolomsgewijs en cijferend optellen en aftrekken.
Het is belangrijk dat kinderen inzicht hebben in de decimale getalstructuur. Bij splitsen is het nodig de interne getalstructuur te gebruiken. Het kan voorkomen dat kinderen de tientallen en eenheden door elkaar gooien. Daarom is het noodzakelijk om de stappen te noteren en de tientallen voluit te schrijven.
Bij aftrekken kan het splitsen lastig zijn als er een tientaloverschrijding is. Het af te trekken getal van de eenheden kan groter zijn dan het getal waarvan afgetrokken wordt. Kinderen kennen het principe negatieve getallen nog niet.
Vaak wordt dan de combinatiemethode gebruikt: kinderen beginnen de som splitsend en als ze tekort komen maken ze de som rijgend af. Er kunnen dan fouten ontstaan. Dit komt vooral voor als kinderen te snel op formeel niveau moeten redeneren. Een stapje terug doen helpt dan vaak. Het kan helpen om te denken aan geld.
M.A.B.-materiaal
Blokjes, rijen van 10 blokjes, schijven van 100 blokjes en grote blokken van 1000 blokjes.
Aan M.A.B.-materiaal is de decimale structuur van getallen goed zichtbaar.
M.A.B.-materiaal is additief, oftewel telbaar, materiaal. Het is minder geschikt om handelend optel- en aftrekopgaven mee uit te voeren. Kinderen blijven dan te lang tellen.
Door het inwisselen van tienen in losse verlies je snel het overzicht. Het gaat met name om de modelfunctie. Het ondersteunt het denken door de visualisatie van de tientallige structuur.
Geld
Met geld is de structuur van het tientallig stelsel eveneens te verduidelijken. Geldbedragen kunnen worden gesplitst overeenkomstig de positiewaarde van de cijfers. Kinderen leren hiermee dat de plaats van het cijfer de waarde bepaalt.
4.2.2 Varia-aanpakken
Voor varia-aanpakken zijn verschillende andere benamingen, zoals handig rekenen of flexibel rekenen. Varia-aanpakken maken handig gebruik van eigenschappen van getallen of bewerkingen.
Compenseren
36 + 29 = 36 + 30 1
Ondersteund met een getallenlijn is dit erg duidelijk voor kinderen.
Bij compenseren maak je eerst een te grote stap en doe je het benodigde aantal kleine stapjes terug.
Andere benamingen voor compenseren zijn rekenen via een rond getal of rekenen met teveel.
Transformeren
Bij transformeren gaat het om het omvormen van de hele opgave. (33 + 19 = 32 + 20).
Bij het transformeren wordt gebruikgemaakt van de associatieve eigenschap van de bewerking optellen.
Op formeel niveau is dit nog lastig. Maar als je het zichtbaar maakt met een plaatje (bijvoorbeeld een tribune) wordt het begrijpelijk.
In vak A zitten 39 mensen, in vak B 26. Hoeveel zijn het er samen? Als er nu iemand van vak B naar A loopt wordt het makkelijker uit te rekenen, maar blijft het antwoord hetzelfde.
Op modelondersteunend niveau kan de getallenlijn de strategie transformeren ondersteunen om de tussenstappen en de tussenantwoorden bij te houden.
Transformeren bij aftrekken is anders. Je telt aan beide kanten van de er hetzelfde aantal bij op. Het verschil blijft dan hetzelfde als bij de oorspronkelijke som.
Een ondersteunende context van transformeren bij aftrekken is de weegschaalcontext:
Moeder weegt 68 kg en kind 29. Hoeveel verschillen ze in kg? Het wordt makkelijker te berekenen als ze beide een doos pakken van 1 kg.
Ook de leeftijdscontext kan goede ondersteuning bieden. Vader is 47 en kind is 12. Hoeveel ouder is de vader? En over 3 jaar? Het laatste is makkelijker.
Andere benamingen voor transformeren zijn ombouwen en rekenen met een buursom.
Andere varia-aanpakken
Bij een aftrekopgave waarbij het verschil klein is, kan de procedure indirect optellen of indirect aftrekken worden gebruikt.
Andere benamingen voor indirect optellen zijn aanvullen en bijna-verdwijnsom.
Ook bij een groter verschil kun je de opgave optellend oplossen. Hierbij wordt de inverse relatie tussen optellen en aftrekken benut.
4.2.3 Omgaan met verschillende oplossingsmethodes
Rijgen en splitsen zijn basisstrategien: ze zijn altijd toepasbaar. Beide strategien zijn belangrijk met het oog op het voortgezet rekenen vanaf groep 5.
In de loop van tijd komen meerdere varia-aanpakken aan bod.
De leerkracht moet een evenwicht zoeken tussen enerzijds kinderen de tijd en ruimte gunnen om zich in hun eigen tempo meerdere oplossingsstrategien eigen te maken en anderzijds alle leerlingen stimuleren tot niveauverhoging.
Zwakke rekenaars kunnen in de war raken als meerdere strategien tegelijkertijd aangeboden worden, maar kunnen vaak wel meerdere strategien n voor n leren.
Soms weten ze niet welke strategie ze moeten kiezen. Sommige kinderen zijn ermee geholpen als ze langer gebruik mogen maken van de basisstrategien. De varia-strategien komen dan later aan bod.
3.3 Elementair vermenigvuldigen en delen
De basisbewerkingen vermenigvuldigen en delen komen vanaf groep 4 aan bod.
3.3.1 Tafels van vermenigvuldiging
Het leren vermenigvuldigen start vanuit betekenisverlenende contexten. Bijvoorbeeld het tellen van paren schoenen bij de tafel van 2. Het is belangrijk dat er veel aandacht is voor begripsvorming, zodat leerlingen weten wat vermenigvuldigen is, voordat ze beginnen met het automatiseren en memoriseren van de tafels.
Bij het leren van de tafels zijn er een aantal elkaar overlappende fasen te onderscheiden: introductie en verkenning, reconstructie, vastleggen en consolideren.
Introductie en verkenning
Wat is het en wanneer gebruik je het?
Vooral herhaald optellen en groepjes maken worden benut, later komen andere betekenissen aan bod. Kinderen verkennen het vermenigvuldigen in concrete situaties (10 kangoeroes met allemaal een baby, 10 + 10 of 2 x 10).
In het begin is er veel aandacht voor het verwoorden: 1 moederkangoero betekent 2 kangoeroes samen, 2 moederkangoeroes betekent 4 kangoeroes samen enzovoort. En wat heeft de getallenlijn met de opgave te maken?
Bij elke tafel wordt een passende context gebruikt.
Als kinderen begrip hebben van wat vermenigvuldiging is, kan verder worden gegaan met het leren van de tafels. Een belangrijk model in de eerste fase is het groepjesmodel.
Voorbeeld: hoeveel appels zitten er in de zak en hoeveel zakken zijn er? Hoeveel appels zijn er in totaal Welke keersom hoort daarbij?
De volgende stap is het herkennen en uitvoeren van de herhaalde optelling. Hiervoor wordt het lijnmodel gebruikt.
Het lijnmodel is abstracter dan het groepjesmodel.
Een ander model is het rechthoekmodel. In een rechthoek van bijvoorbeeld tegels kan een vermenigvuldiging worden gezien. Als een deel van de rechthoek niet zichtbaar is worden kinderen gestimuleerd om verkort te tellen in plaats van alle tegels n voor n te tellen.
Reconstructie
In deze fase van de leerlijn vermenigvuldigen gaat het om het zelf reconstrueren van de tafels en de bijbehorende antwoorden. Kinderen kunnen de producten achterhalen door gebruik te maken van steunpunten en strategien.
Zo kan vanuit het steunpunt 10 x 8 = 80 via de strategie 1x minder de opgave 9 x 8 worden afgeleid.
De volgende vermenigvuldigingsstrategien worden gebruikt bij de reconstructie van de tafels: verdubbelen, halveren, 1x meer, 1x minder en verwisselen.
In een tafelweb staan al deze varianten.
Het rechthoekmodel maakt de verwisseleigenschap duidelijk. Drie rijen van zes tegels is hetzelfde als zes rijen van drie tegels.
Vastleggen en reproduceren
Kinderen gaan oefenen. Nog lastige sommen worden uitgerekend en ingeoefend met behulp van de strategien.
Daarna volgt het automatiseren en memoriseren. De tafels worden opgezegd om het memoriseren te vergemakkelijken. Spelletjes kunnen ook goed zijn.
Uiteindelijk moeten de tafels gememoriseerd zijn.
Consolideren en beschikbaar houden
Tafels moet je blijven oefenen. Ook de strategien blijf je onder de aandacht brengen. Dit kan via het hoofdrekenen, maar ook via spelletjes.
3.3.2 Delen
Kinderen komen vanaf eind groep 4 in aanraking met delen.
De kennis van de tafels wordt gebruikt bij het delen. In eerste instantie kunnen de deelopgaven altijd worden opgelost met behulp van een tafelopgave, dit kan bijvoorbeeld via een stipvermenigvuldiging: 36 : 9 wordt opgelost als . x 9 = 36.
De betekenis van delen wordt duidelijk gemaakt door contexten en toepassingssituaties. Er worden verschillende betekenissen van delen benut.
Bijvoorbeeld: er zijn 30 sinaasappels, er zitten er 6 in een netje. Hoeveel netjes zijn er dan?
Op de getallenlijn kunnen herhaalde sprongen worden gemaakt of gevisualiseerd.
Sprongen achteruit van het aantal waardoor gedeeld wordt.
Delen is de inverse bewerking van vermenigvuldigen.
Voor het begrip van delen moet er aandacht besteedt worden aan rest.
Door het controleren van de uitkomst van een deelsom via een keersom blijft het kind zich bewust van het verband tussen vermenigvuldigen en delen.
4 Rekenen-wiskunde met hele getallen in de bovenbouw
Aandachtspunten voor de gecijferdheid in de bovenbouw zijn getallen, bewerkingen en toepassen.
Verschijningsvormen van getallen, zoals data, temperatuur en prijzen krijgen in de bovenbouw meer inhoud. Hier komen allerlei maten en samengestelde grootheden bij, zoals de schaal van Richter of lichtjaren.
Daarnaast leren kinderen zich een beeld te vormen bij grote getallen. Hierbij spelen aantallen, schatten, maten en meten een belangrijke rol.
Vanaf groep 5 komt het voortgezette rekenen aan bod. De basisbewerkingen worden verder geoefend en onderhouden, en naast hoofdrekenen komen de rekenvormen schattend rekenen, schriftelijk rekenen met standaardprocedures en rekenen met de rekenmachine aan de orde.
Er komt ook aandacht voor het flexibel inzetten van verschillende rekenvormen en oplossingsmethodes.
Het inoefenen van oplossingsmethodes en het toepassen van rekenvormen gaat het beste als leerlingen begrijpen waar ze mee bezig zijn. Daarom blijft er veel aandacht uitgaan naar de betekenis van getallen en van bewerkingen door te contextualiseren.
Daarnaast wordt er blijvend aandacht besteedt aan structuren van getallen en eigenschappen van bewerkingen, juist als het gaat om het rekenen en redeneren met steeds grotere getallen.
4.1 Schets van de leerlijn voortgezet rekenen
- Basisbewerkingen (vanaf groep 3/4)
- Rekenen in de bovenbouw (vanaf groep 5)
o Hoofdrekenen
o Schriftelijk rekenen met standaardprocedures
o Schattend rekenen
o Rekenen met de rekenmachine
o Flexibel hanteren van verschillende rekenvormen
4.2 Hoofdrekenen in de bovenbouw
Rekenen uit het hoofd: optellen en aftrekken tot 20 en tot 100, de tafels van vermenigvuldiging en de deeltafels.
4.2.1 Globaal en precies hoofdrekenen
Bij hoofdrekenen met het hoofd wordt gebruikgemaakt van gekende weetjes. Daarbij kan het zowel gaan om precies rekenen als om globaal schattend rekenen.
4.2.2 Grip op grote getallen
Bij schriftelijk rekenen gaat het met name om uitbreiding van de vaardigheid met meercijferige getallen. Bij hoofdrekenen en schattend rekenen gaat het ook om het uitbreiden van het getalbegrip, ook voor grote getallen. Veel aandacht is er voor wiskundetaal van grote getallen. Zowel voor de uitspraak als voor de notatie.
4.2.3 Hoofdrekenen vermenigvuldigen en delen
Het vermenigvuldigen en delen gaat niet alleen meer om de (deel)tafels, maar ook om opgaven met grotere getallen. Daarbij komen verschillende oplossingsmethoden aan bod. Er wordt gebruik gemaakt van de eigenschappen van getallen en bewerkingen.
De distributieve eigenschap
Bij het verdelen wordt de distributieve eigenschap toegepast: de opgave wordt verdeeld in eenvoudigere deelopgaven door een of twee van de factoren in de opgave op te splitsen.
Bij vermenigvuldigen kun je zowel de vermenigvuldiger als het vermenigvuldigtal splitsen (23 x 61 = 23 x 60 + 23 x 1 = 20 x 61 + 3 x 61) of (23 x 61 = 20 x 60 + 20 x 1 + 3 x 60 + 3 x 1).
Een standaardfout is dat bijvoorbeeld 23 x 61 wordt verdeeld in 20 x 60 en 3 x 1, je mist dan een deel van de som.
Bij delen werkt de oplossingsmethode verdelen alleen bij het splitsen van het deeltal.
Je kunt 48 : 3 bijvoorbeeld opdelen in 30 : 3 + 18 : 3. Dan is de som makkelijker.
Verwisselen
Bij het vermenigvuldigen kun je de getallen verwisselen, dit kennen de kinderen al van de tafels.
Soms is 12 x 35 makkelijker dan 35 x 12.
Bij verwisselen gaat het om de commutatieve eigenschap. Die geldt niet voor delen.
Zowel verwisselen als verdelen kunnen worden ondersteund met het rechthoekmodel.
De varia-aanpakken compenseren en transformeren zijn ook te gebruiken bij vermenigvuldiging- en deelopgaven.
Compenseren
99 x 73. Eerst 100 x 73 en dan 73 eraf.
195 : 5. Eerst 200 : 5 en vervolgens de 5 : 5 eraf halen.
Transformeren
12 x 45 wordt 6 x 90.
Hierbij wordt gebruik gemaakt van de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging.
Omdat de associatieve eigenschap niet geldt voor delen werkt transformeren bij delen anders.
124 : 4 wordt 62 : 2 of 31 : 1.
4.3 Schriftelijk rekenen
4.3.1 Kolomsgewijs en cijferend optellen
Bij kolomsgewijs rekenen worden de deelgetallen in hun waarde gelaten. Er wordt gerekend van links naar rechts.
Bij cijferend rekenen wordt er gerekend met de afzonderlijke cijfers in de getallen en wordt er gerekend van rechts naar links.
Kolomsgewijs optellen bouwt voort op splitsen.
Bij het beginnend cijferend rekenen is vooral het verwoorden van groot belang. Het is belangrijk dat je het niet hebt over losse cijfers, zodat het duidelijk wordt voor een kind dat een getal bijvoorbeeld een tiental is.
Het positieschema kan gebruikt worden ter ondersteuning.
Het kan ook als denkmodel gebruikt worden.
4.3.2 Kolomsgewijs en cijferend aftrekken
Bij kolomsgewijs aftrekken treedt de standaardmoeilijkheid op als de aftrekker groter is dan het aftrektal. Je moet dan rekenen met tekorten.
Dit kan ondersteund worden met geldcontexten.
Bij cijferend aftrekken wordt gebruik gemaakt van inwisselen. Je kunt bij dit inwisselen geld als ondersteunend geldmodel gebruiken.
4.3.3 Kolomsgewijs en cijferend vermenigvuldigen
Kolomsgewijs vermenigvuldigen bouwt voort op de hoofdaanpak verdelen.
De benodigde voorkennis voor kolomsgewijs vermenigvuldigen omvat beheersing van de tafels en inzicht in de verdeelstrategie en de nulregel.
Ook kolomsgewijs vermenigvuldigen gaat van rechts naar links.
Ook bij cijferend vermenigvuldigen moet je onthouden dat het niet gaat om losse getallen, maar om tientallen etc.
Bij zowel kolomsgewijs als cijferend vermenigvuldigen moet er aandacht besteed worden aan de overgang naar opgaven waarbij beide factoren meercijferig zijn. Dan zijn er namelijk vier deelopgaven.
Je kunt verdelen in twee deelopgaven of je schrijft de deelopgaven gewoon onder elkaar.
Bij de cijferende manier moet er aandacht besteed worden aan het nul opschrijven bij de laatste twee deelantwoorden.
Een standaardfout is dat de 0 wordt vergeten.
4.3.4 Kolomsgewijs en cijferend delen
Kolomsgewijs delen is herhaald aftrekken. Het is belangrijk dat kinderen de noodzaak tot verkorting ervaren.
In methodes noemen ze kolomsgewijs delen vaak happen. Het aftrekken van het maximale aantal honderdtallen, tientallen of eenheden ineens wordt dan het nemen van de grootste hap genoemd. Je kunt hulpsommen gebruiken.
Cijferend delen is een verkorte notatie van de meest verkorte vorm van kolomsgewijs delen.
Bij kolomsgewijs rekenen kun je nog steeds goed uitkomen als je niet de grootste hap neemt. Bij een staartdeling gaat het dan fout.
Aan sommen met rest wordt in methodes vaak concreet betekenis gegeven.
4.3.5 Kolomsgewijs versus cijferend rekenen
Kolomsgewijs rekenen en cijferen zijn standaardprocedures voor schriftelijk rekenen. Voor cijferen wordt ook wel de term standaardlogaritme gebruikt.
Een algoritme is de meest verkorte vorm van een standaardprocedure: er wordt niet meer gerekend met deelgetallen en de notatie is zo beknopt mogelijk.
Kolomsgewijs kan een doel op zich zijn of een middel, als het wordt gebruikt als tussenstap.
Kolomsgewijs rekenen en cijferen kunnen worden aangeboden volgens het idee van progressief schematiseren. Dit betekent dat wordt gestart met concrete probleemsituaties die schematisch worden weergegeven. Bijvoorbeeld een optel- of aftreksituatie die in een positieschema wordt opgelost. De oplossingsmethode wordt steeds verder verkort.
Bij kolomsgewijs rekenen en progressief schematiseren is verkorting noodzakelijk. Anders maken kinderen door de vele tussenstappen meer fouten en raken ze het overzicht kwijt.
Cijferen kan ook regelgeleid worden aangeboden. Dit houdt in dat dde leerlingen voor een bewerking direct het meest verkorte standaardalgoritme krijgen aangeboden. Deze wordt vervolgens schematisch ingeoefend. De opgaven worden dan aangeboden volgens het principe van progressief compliceren: de opgaven worden steeds moeilijker doordat de getallen steeds groter worden.
Deze aanpak kent nadelen, vooral als de regels niet inzichtelijk maar enkel als na te volgen procedures worden aangeboden.
De regels zijn niet altijd hetzelfde: soms moet je inwisselen en soms niet. Ook hebben kinderen geen zicht op de waarde van de cijfers. Er wordt vanaf het begin gerekend met losse cijfers.
Rekenzwakke kinderen vinden cijferen aantrekkelijk en gaan dit bij alle opgaven gebruiken, zelfs in het hoofd. Hierdoor kan hoofdrekenen en inzicht achteruit gaan.
4.4 Schattend rekenen
Vanuit het oogpunt van gecijferdheid is schatten een belangrijke vaardigheid.
Schattend rekenen is het rekenen met afgeronde getallen en het rekenen met onvolledige of ontbrekende gegevens.
Eerst wordt er geschat in contexten en later met formele opgaven.
Bij schattend rekenen gaat het om het overzichtelijk en hanteerbaar maken van moeilijk te bepalen hoeveelheden. Welk getal hanteerbaar is, verschilt per context, de telstrategien, de referentiegetallen, de referentiematen en de bewerkingen waarover de leerling beschikt.
Bij moeilijk te bepalen hoeveelheden helpt het om de hoeveelheden te structureren. Het kind telt dan een hoeveelheid en schat hoeveel van die groepjes er in het geheel passen.
Ook is het een gebruikelijke werkwijze om te werken met aannames, ook wel veronderstellingen of hypotheses genoemd.
De basis van schatten is afronden.
Bij leren schatten zijn drie fasen te onderscheiden: de informele fase, de regelgeleide fase en de flexibele fase.
Starten met informele aanpakken van leerlingen, zonder afrondingsregels te gebruiken, valt onder de informele fase.
In de regelgeleide fase gaat het om het hanteren van standaardaanpakken, zoals het gebruiken van de afrondingsregels.
Schatten kan ook gebruikt worden om de uitkomst te controleren.
Leerlingen moeten leren inzien welke afwijkingen acceptabel zijn. Welke orde van grootte mag de uitkomst afwijken van de precieze berekening?
Dit is te bepalen via inklemmen. De precieze berekening wordt ingeklemd tussen twee berekeningen met afgeronde getallen. Op die manier is een goede schatting te geven van het mogelijke antwoord.
Het doel van het leerproces is dat leerlingen uiteindelijk een juiste keuze kunnen maken voor het afronden en schatten. Dit wordt gestimuleerd in de flexibele fase van het leren schatten.
4.5 Rekenen met de rekenmachine
De rekenmachine op school heeft verschillende functies.
Bijvoorbeeld om te leren omgaan met de rekenmachine als rekenhulpmiddel.
Daarnaast heeft het een onderzoeksfunctie en een didactische functie.
Bij de onderzoeksfunctie gaat het om het onderzoeken van de mogelijkheden en onmogelijkheden van de rekenmachine.
Kinderen kunnen onderzoeken waarom bijvoorbeeld 4 x 5 5 x 5 op sommige rekenmachines 0 is en op andere 80. De ene rekenmachine houdt de volgorde van bewerkingen aan, andere doen dit niet.
Ook de wetenschappelijke notatie verschilt. (2,1e6 bijvoorbeeld). In de verkennende fase van het leren werken met de rekenmachine wordt deze onderzoeksfunctie veel ingezet.
In de verrijkende fase van het leren werken met de rekenmachine wordt de rekenmachine gebruikt als didactisch verrijkingsmiddel. Hiermee krijgen kinderen inzicht in de structuren van het getalsysteem en de bewerkingen.
Als je steeds drukt op +9 dan komt de tafel van 9. Het gaat hierbij om een optelling met constante factor. Hetzelfde kan gedaan worden met grote getallen, kwadraten enzovoort.
Een rekenmachinedictee is een werkvorm die ook past in deze fase. Het is dan de bedoeling dat kinderen nagaan welke opgaven sneller zijn op te lossen met de rekenmachine en welke sneller zijn op te lossen uit het hoofd.
Het controleren van een schatting met de rekenmachine of het controleren van de rekenmachine van een schatting is ook een manier waarop je de rekenmachine kunt gebruiken.
De laatste fase van het werken met de rekenmachine is de integratiefase. De leerlingen ontwikkelen een attitude waarbij ze het antwoord van de rekenmachine altijd controleren met een schatting.
4.6 Combinatoriek
Een van de betekenissen van vermenigvuldigen is combineren. Bijvoorbeeld het totaal aantal routes of het aantal combinaties van shirts en broeken.
Een boomdiagram of wegendiagram laat het aantal mogelijkheden zien.
Wanneer er veel keuzemogelijkheid bestaat, is de boomdiagram te groot. Dan is een wegendiagram soms een alternatief.
Hoofdstuk 7 Leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde
7.1 Domeinen en doelen
Rekenen en wiskunde heeft op de basisschool verschillende doelen.
- Het voorbereiden op maatschappelijk functioneren. Rekenen-wiskunde helpt greep te krijgen op de wereld. Bijv. aantallen, hoeveelheden, maten, geld etc.
- Voorbereiding op vervolgonderwijs wiskunde, techniek, economie, aardrijkskunde, scheikunde.
- Vakspecifieke doelen. Probleemoplossing, het ontwikkelen van een wiskundige attitude: een genteresseerde, kritische en onderzoekende houding ten aanzien van getalsmatige en wiskundige informatie.
Deze doelen kun je zien als de achterliggende waardes van rekenen-wiskunde op de basisschool.
Rekenen-wiskunde kent vijf domeinen:
- Getallen (hele getallen, breuken en kommagetallen)
- Verhoudingen (procenten en breuken)
- Meten
- Meetkunde
- Verbanden
7.1.1 Gecijferdheid
Het begrip gecijferdheid kan in het kort omschreven worden als: adequaat kunnen handelen en redeneren in situaties waarin getallen en getalsmatige, meetkundige en wiskundige aspecten een rol spelen. Het gaat hierbij bijvoorbeeld om het inschatten van de grootte van getallen, het gebruiken van referentiegetallen en referentiematen en het inschatten hoe bewerkingen uitpakken. Ook maatinzicht en ruimtelijk inzicht zijn aspecten van gecijferdheid.
Een volwassen gecijferd mens:
- Kan in het dagelijks leven schatten, hoofdrekenen en cijferen, de rekenmachine gebruiken en een passende keuze maken tussen deze rekenvormen.
- Weet wiskundetaal correct en adequaat te gebruiken.
- Kan betekenis geven aan getallen, bewerkingen, maten en het metriek stelsel.
- Kan redeneren en rekenen met kansen en grote en kleine getallen.
- Beschikt over referentiematen en -getallen voor het doen van schattingen.
- Weet fouten en gemanipuleer met getalsmatige informatie in media te herkennen en te ontmaskeren.
Daarnaast is er professionele gecijferdheid die belangrijk is voor het beroepsmatig functioneren. Voor een leraar is dit het kunnen uitleggen op verschillende manieren, het betekenis geven aan getallen en bewerkingen en om foute aanpakken van kinderen te kunnen herkennen, doorzien en verhelpen. Een professioneel gecijferde leerkracht:
- Beschikt over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid
- Kan rekenen-wiskunde betekenis geven voor kinderen
- Weet oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen te realiseren
- Kan het wiskundig denken van kinderen bevorderen.
7.1.2 Doelen
Aanbodverplichting: scholen zijn verplicht de inhouden uit de kerndoelen aan te bieden.
Opbrengstverplichting: scholen moeten laten zien dat ze de doelen behalen voor hun kinderen (a.d.h.v. het referentiekader). Het referentiekader geeft aan wat kinderen moeten kunnen op verschillende momenten.
Tussendoelen en leerlijnen
Voor rekenen-wiskunde bestaan er verschillende methodeonafhankelijke tussendoelen. De meest omvattende zijn TAL en TULE.
Schooldoelen
Een lesdoel omvat: de leerlinhoud, het leerlinggedrag en de beheersing.
Bij de leerinhoud gaat het om zaken als het (sub)domein, de bewerkingen en de getallen waarmee wordt gerekend.
Het leerlinggedrag beschrijft wat de leerling doet met de leerinhoud. Dit omvat bijvoorbeeld het handelingsniveau en andere omstandigheden of voorwaarden, zoals het gebruik van kladpapier.
De beheersing beschrijft aan welke norm moet worden voldaan.
7.2 Leerprocessen bij rekenen-wiskunde
7.2.1 Kennis bij rekenen-wiskunde
Bij een oplossingswijze komen drie typen kennis kijken: declaratieve, procedurele en metacognitieve kennis.
Declaratieve kennis bestaat uit feiten en weetjes. Het gaat om parate kennis (gememoriseerde sommen).
Procedurele kennis is weten hoe je een opgave aan moet pakken. Het gaat hierbij om kennis van het uitvoeren van rekenprocedures.
Door oefening en herhaling kan sommige procedurele kennis declaratieve kennis worden.
Bijvoorbeeld 7 x 40. Het kind weet 7 x 4. En gebruikt als oplossingsstrategie dat er nog een 0 moet achter 28. Later weet hij dit automatisch.
Metacognitieve kennis is kennis over het eigen leren. Dit betreft kennis over zichzelf, in relatie tot de taak en aanpak. Je kent je eigen vaak gemaakte fouten, waardoor je dit extra moet controleren.
7.2.2 Rekenen-wiskunde leren
Bij het leren van rekenen spelen verschillende leerprocessen mee; van begripsvorming tot automatisering. Er is dan ook sprake van uiteenlopende leeractiviteiten, zoals probleemoplossen, verwoorden en oefenen.
In de praktijk lopen diverse leerprocessen door elkaar heen en benvloeden ze elkaar. Zo zijn betekenisverlening (ontwikkelen van begrip en inzicht) en vaardigheidsontwikkeling (oefenen en automatiseren) verschillende aspecten van het leren van rekenen, die elkaar kunnen versterken.
Bij de leerprocessen en -activiteiten spelen mathematiseren, taal en betekenis en oefenen elk een belangrijke rol.
Mathematiseren
Mathematiseren is wiskundig maken.
Een vertaling van een concrete situatie naar een rekenopgave of rekenaanpak wordt horizontaal mathematiseren genoemd. Het omgekeerde, het terugvertalen van het formele antwoord naar de concrete situatie valt hier ook onder.
Een aanpak waarbij 7 x 48 wordt verdeeld in 7 x 40 en 7 x 8 kan worden gemodelleerd met het rechthoekmodel. Ook modelleren en schematiseren zijn vormen van mathematiseren.
Horizontaal mathematiseren kan worden omschreven als het zodanig modelleren van een situatie, dat deze wiskundig kan worden aangepakt. Zon modellering kan dicht bij de situatie liggen, maar ook dicht bij het wiskundige oplossingsproces, zoals het rechthoekmodel.
Er bestaat ook verticaal mathematiseren. Hiermee wordt het oplossen van een opgave op een steeds hoger wiskundig niveau bedoeld.
Hierbij gaat het bijvoorbeeld om verkorten. Maar ook om compliceren: het leren beheersen van steeds complexere zaken (eerst optellen, later vermenigvuldigen etc.).
Verticaal mathematiseren kan ook worden gezien als formaliseren: het leerproces om rekensituaties en problemen op steeds formeler en abstracter niveau op te lossen. (keersommen zijn eerst herhaald optellen, vervolgens worden het keersommen).
Taal en betekenis
Het in eigen woorden zeggen helpt bij het begrijpen wat er wordt gevraagd en het bepalen welke aanpak er gekozen moet worden.
Taalvaardigheid is ook belangrijk voor het verwoorden van denkwijzen en aanpakken en het kunnen volgen van uitleg.
Ook speelt taal een rol als het gaat om het leren van wiskundetaal; wiskundige begrippen, symbolen en notatie etc.
Oefenen
Oefenen is belangrijk voor het opbouwen van declaratieve kennis. Oefenen vergroot en bestendigt rekenvaardigheid (procedurele kennis) en hogere orde-vaardigheden, zoals probleemoplossen.
Oefenen zorgt voor het automatiseren, memoriseren en consolideren van kennis.
- Automatiseren. Leren routinematig uitvoeren van rekenhandelingen.
- Memoriseren. Het uit het hoofd leren van rekenfeiten.
- Consolideren. Het onderhouden van geautomatiseerde en gememoriseerde kennis.
Door het oefenen kan het referentiekader steeds uitbreiden. Door parate kennis van vermenigvuldigen kan bijvoorbeeld parate kennis van het delen voortvloeien.
7.2.3 Leertheorien
Cognitieve ontwikkelingspsychologie
De cognitieve ontwikkelingspsychologie stelt dat naarmate kinderen ouder worden, hun potentieel om te leren zich ontwikkelt. Kinderen in de basisschoolleeftijd zitten in de concreet-operationele fase van hun ontwikkeling. Ze zijn ontvankelijk voor het leren ordenen, tellen en rekenen. Vanaf 12 jaar komen kinderen in de formeel-operationele fase. Ze gaan dan steeds logischer en abstracter denken.
Met het rekenen ben je veel concreet-handelend bezig. Bijvoorbeeld bij het springen naar getallen en het werken met de kralenketting.
Handelingsleerpsychologie
Rekenen is het uitvoeren van handelingen. Dit gebeurt eerst met materiaal: de materile handelingen. Hier zie je overlap met de cognitieve ontwikkelingspsychologie. Een volgende stap is het verwoorden van handelingen alsof je nog met het materiaal bezig bent. Dit wordt gematerialiseerd handelen genoemd. De laatste stap is het volledig uitvoeren van alle stappen in het hoofd. Er is dan sprake van denkhandelingen; de handelingen zijn genternaliseerd.
Cognitieve psychologie
De cognitieve psychologie richt zich op mentale leerprocessen, zoals het ontwikkelen van inzicht. Rekenen wordt gezien als een proces van probleemoplossen en als een proces van informatie verwerken.
Naast het leren door (mentaal) handelen, wordt ook geleerd door anderen te observeren.
De invloed van cognitieve psychologie is zichtbaar in leerinhouden en opgaven waarbij het gaat om het bevorderen van het denken. Bijvoorbeeld bij opgaven waarbij er eerst informatie moet worden vertaald naar een rekenopgave of waarbij de aanpak niet op voorhand duidelijk is.
Daarnaast zie je invloed van cognitieve psychologie terug in het model-leren, waarbij de leerkracht model staat voor probleemoplossen en hardop denkend een opgave aanpakt.
Sociaal constructivisme
Het sociaal constructivisme vat leren rekenen op als een leerproces waarin je in overleg en samenspraak met anderen zelf kennis opbouwt (construeren). Het idee is dat kinderen belangrijke ontwikkelingen en ideen van de wiskunde zelf ontdekken.
Dit kan als kinderen op het juiste moment goede input krijgen (opgaven, vragen enz.), waardoor ze steeds een stapje verder komen.
Dit proces wordt ook wel geleide herontdekking genoemd en kan plaatsvinden als kinderen worden gestimuleerd tot wiskundig denken.
De invloed van sociaal constructivisme is terug te zien doordat contexten in de vorm van voor kinderen betekenisvolle situaties niet alleen worden gebruikt om geleerde rekenvaardigheden toe te passen, maar ook als bron voor de ontwikkeling van reken-wiskundige kennis.
De invloed is ook terug te zien in het gebruik van conflictopgaven of conflictsituaties, die worden aangepakt door samen de situatie en de aanpak de bespreken.
Een conflictopgave is een probleem waarin schijnbaar iets tegenstrijdigs zit, of iets dat niet lijkt te kunnen kloppen.
7.3 Vakdidactiek rekenen-wiskunde
7.3.1 Onderwijsleerprincipes rekenen-wiskunde
Het onderwijs is sterk benvloed door het realistisch reken-wiskundeonderwijs. Het realisme gaat ervan uit dat reken-wiskundeonderwijs het beste kan aansluiten op voor kinderen betekenisvolle realiteit. Kinderen begrijpen wiskunde het beste als ze zich realiseren wat ze doen. Er zijn vijf onderwijsleerprincipes voor het realistisch rekenen:
1. Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit;
2. Modelleren en formaliseren;
3. Ruimte voor eigen inbreng leerlingen;
4. Interactie en reflectie;
5. Verstrengeling van leerlijnen.
Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit
Er wordt gebruik gemaakt van contexten. Contexten kunnen afgeleid zijn van de realiteit in de zin van de alledaagse werkelijkheid. Maar ook fantasie en in de loop van de basisschool de formele getallenwereld horen bij de betekenisvolle realiteit van kinderen en kunnen in de vorm van contexten worden benut.
Contexten kunnen op verschillende manieren worden gebruikt. Ze kunnen worden gebruikt als bron voor onderwijs. Bijvoorbeeld om een nieuw probleem te introduceren. Het mathematiseren gaat dan om het begrijpen van rekenen-wiskunde door realiteit erbij te betrekken.
Verder worden contexten gebruikt om eerder geleerde reken-wiskundige kennis en vaardigheden toe te passen. Dan werkt het mathematiseren de andere kant op: het gaat dan om het begrijpen van de realiteit met rekenen als gereedschap.
Modelleren en formaliseren
De stap van concrete situaties naar formeel rekenen is soms groot. Dan kunnen er hulpmiddelen gebruikt worden als modellen, schemas en materialen.
Voorbeelden zijn het rekenrek, de getallenlijn en het positieschema (D, H, T, E).
Modellen en schemas ondersteunen in de eerste plaats het horizontaal mathematiseren. Ze vormen een brug tussen realiteit en formaliteit.
Het positieschema laat bijvoorbeeld het verband zien tussen geld (context) en notatie (formele wiskunde).
Een structuurmateriaal, zoals het rekenrek, kan ook het redeneren (over getalbeelden en rekenen tot 20) ondersteunen zonder een relatie met een context. Hierin is wel het idee van materile handeling naar denkhandeling te herkennen.
Modellen, schemas en materialen ondersteunen ook het verticaal mathematiseren doordat ze het redeneren en rekenen gedurende langere tijd ondersteunen. Het positieschema kan na het cijferend rekenen met hele getallen gebruikt worden voor cijferend rekenen met kommegetallen.
Bij het formaliseren worden drie niveaus van abstractie doorlopen:
1. Informeel, contextgebonden redeneren en rekenen;
2. Semiformeel, modelondersteunend redeneren en rekenen;
3. Formeel, vakmatig redeneren en rekenen.
Of:
1. Concreet
2. Modelondersteunend
3. Formeel
Het kan concreet-betekenisvol zijn in de vorm van een betekenisverlenende context (bijvoorbeeld de buscontext) en het kan concreet-handelend zijn (bijvoorbeeld bij het rekenrekje).
Bij een goede inzet van modellen en materialen zijn de onderlinge verbanden voor kinderen logisch. In het ideale geval is een model daarom zowel een model van kinderen als een model voor de wiskunde. Dit houdt in dat:
- Kinderen kunnen vanuit een concrete situatie zelf een modelmatige tekening maken (model van kinderen)
- Vanuit de tekening wordt een modelmatige weergave ontwikkeld voor het formele redeneren en rekenen (model voor wiskunde).
Voorbeeld: kinderen tekenen een rechthoek en tekenen daarin een bepaald aantal objecten (vanuit de concrete situatie). Later dient het rechthoekmodel als model voor het formele rekenen.
Sommige contexten hebben zon ondersteunende werking voor het redeneren en rekenen, dat ze een modelcontext vormen. De context zelf vervult dan een modelfunctie en helpt dus de afstand naar het formele rekenen te overbruggen.
Een voorbeeld is de buscontext. Binnen deze context worden zowel de betekenissen van getallen als van bewerkingen geconcretiseerd (getallen zijn de passagiers, bewerkingen zijn instappen en uitstappen). De vorm van de pijlentaal sluit aan bij het idee van de bushalte en bereidt voor op de latere formele pijlentaal.
Ruimte voor eigen inbreng van leerlingen
Het wiskundig denken moet bij de leerling zelf liggen. Er zijn verschillende manieren waarop dit kan worden bereikt.
Het meest eenvoudig te realiseren is productief oefenen. Dit is oefenen op een open, niet voorgestructureerde manier. Kinderen bedenken bijvoorbeeld zelf opgaven waar steeds hetzelfde antwoord uitkomt. Je kunt kinderen ook bij lesstof vragen een moeilijke en een makkelijke opgave te bedenken. Hierdoor denken ze wiskundig na over de lesstof en de leerkracht krijgt inzicht in de beheersing.
Een andere invalshoek is om de eigen oplossingswijzen van kinderen als startpunt te nemen van het leerproces. Dit kan door veel open vragen te stellen en door steeds de inbreng van de leerlingen te betrekken bij het verloop van de les.
Interactie en reflectie
Leren rekenen vindt vooral plaats in interactie met anderen: luisteren naar uitleg, uitwisselen van ideen en oplossingsstrategien, vragen stellen en verwoorden van eigen aanpakken en die van anderen.
Kinderen worden door interactie gestimuleerd om hun aanpakken met elkaar te vergelijken en de voordelen en nadelen van een aanpak op een rijtje te zetten. Door deze reflectie komen kinderen tot verkorting, abstrahering en het doorzien van wiskundige relaties tussen verschillende aanpakken.
Als leraar moet je ervoor zorgen dat leerlingen niet gaan raden wat de leerkracht in het hoofd heeft zonder na te denken over een vraag.
Je moet er ook voor zorgen dat je onverwachte maar correcte inbreng van leerlingen herkent als zodaning.
Simultane interactie: leerlingen discussiren en redeneren onderling (horizontale interactie), waarbij de leerkracht er voor zorgt dat de redenering de goede kant op gaat door het stellen van goede vragen (verticale interactie). Goede vragen zijn open vragen die het wiskundig denken bij de leerlingen laten.
Verstrengeling van leerlijnen
Het verstrengelen van leerlijnen draagt bij aan begrip en aan toepasbaarheid van rekenwiskundige kennis en inzichten.
7.3.2 Didactische modellen
Het ijsbergmodel
Er zicht veel informele en semiformele kennis en inzichten onder het oppervlak.
Het kunnen maken van formele opgaven is slechts het topje van de ijsberg.
Het draagvlak onder water bestaat uit onderliggende kennis, vaardigheden en inzichten.
Je kunt de invulling van een ijsberg zien als een opbouw in formalisering van beneden naar boven. Aan de basis van de ijsberg liggen betekenisverlenende contexten. Daarboven gaat het om het representateren met schematische weergaven. Weer daarboven ligt het formele topje van de ijsberg.
Het handelingsmodel
De handelingsniveaus zijn in het handelingsmodel weergegeven in toenemende mate van abstractie.
1. Kinderen leren op informeel niveau door iets te doen, na te spelen of te beleven.
2. Op het tweede niveau vindt leren plaats naar aanleiding van een concrete situatie, met gebruik van fotos of tekeningen van rele objecten of situaties.
3. Op het derde niveau wordt geleerd door te redeneren met behulp van modellen en schematische voorstellingen.
4. Op het vierde niveau leren kinderen door te redeneren op basis van tekst en/of getallen.
Een goede ontwikkeling op de laagste twee niveaus is voorwaardelijk voor het goed kunnen functioneren op de twee hoogste niveaus.
Het handelingsmodel kan worden gebruikt om vast te stellen op welk handelingsniveau kinderen redeneren en rekenen. Op basis van dergelijke observaties kun je het rekenonderwijs afstemmen op de handelingsniveaus van de leerlingen.
Een andere functie is het voor de leerling leggen van verbindingen tussen de verschillende niveaus van handelen.
Het drieslagmodel
Het drieslagmodel biedt een analysekader voor probleemoplossend handelen van de leerling en biedt aanknopingspunten voor het didactisch handelen van de leerkracht. Het model beschrijft het volledige oplossingsproces bij contextopgaven.
- Eerst wordt bepaald wat er moet worden berekend en wat de juiste aanpak is (plannen)
- Vervolgens wordt de gekozen aanpak uitgevoerd (uitvoeren)
- Ten slotte wordt de verkregen oplossing teruggekoppeld naar de oorspronkelijke situatie (reflecteren). Hierbij kan tevens reflectie plaatsvinden op de gehanteerde aanpak en de uitvoering daarvan.
Context (plannen) Bewerking (uitvoeren/rekenen) Oplossing (reflecteren) terug bij context.
Het drieslagmodel is afgeleid van rekenen in dagelijkse situaties.
Voorbeeld: situatie met een televisie die in de aanbieding is.
1. Heb ik een nieuwe televisie nodig en voldoet de televisie aan mijn wensen (context)?
2. Hoe kan ik bepalen wat de korting van 20% inhoudt (plannen)?
3. Ik reken de korting uit (uitvoeren). Dit resulteert in een nieuwe prijs (Oplossing).
4. De oplossing wordt gerelateerd aan de situatie. Ik neem de beslissing of het de moeite waard is om gebruik te maken van de aanbieding (reflecteren).
7.3.3 Ontwikkelingen in reken-wiskundedidactiek
Vroeger lag er veel nadruk op cijferen. Bij hoofdrekenen ging het altijd om uit het hoofd uitrekenen.
Contextopgaven waren er niet veel. De contextsommen die er waren, waren redactieopgaven (verhaaltjessommen) om kennis toe te passen, niet als bron voor het rekenonderwijs.
Er werd weinig gebruik gemaakt van modellen.
Nu is er meer aandacht voor inzichtelijk hoofdrekenen. Contexten worden gebruikt als bron voor het onderwijs en met name voor het opbouwen van begrip. Er worden modellen gebruikt ter ondersteuning van het rekenen en redeneren.




. De oefenexamen moet geschreven zijn in de Nederlandse taal. Onderin staan de antwoorden. Het aantal vragen dat het oefenexamen moet bevatten is 20.

Antwoord rapporteren